ГЛАВНАЯ   МАТЕМАТИКА

БЕСЕДЫ О МАТЕМАТИКЕ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЦИФР

      Начало беседы о математике.

Беседы о математике привели к пересмоту правил подсчета распределения цифр. Пользоваться новыми правилами при подчете распределения цифр или нет - личное дело каждого из математиков. От этого будет зависеть только математический результат полученного распределения. С математической точностью можно сказать лишь следующее: один из рассматриваемых вариантов подсчета распределения цифр является не правильным, поскольку дает не точные результаты распределения. Приведенный пример распределения цифр показывает, что для разных разрядов численных значений могут быть разные законы распределения цифр. Рассмотрение нуля как значащей цифры при подсчете распределения цифр позволяет применять различные правила округления чисел для исследования распределения цифр в конкретном разряде числа: округление в меньшую сторону, округление в большую сторону, обычное округление чисел.

02.08.2010 инженер-исследователь:

      На самом деле, исследование распределения первых значащих цифр, тригонометрических функций - задача довольно интересная, тут можно обнаружить своеобразный вариант аппроксимации (в Вашем случае арккосинуса) обратной тригонометрической функции, вне её зоны определения, т.е. при рассмотрении этого распределения потребуется некоторая функция, которая будет совпадать с арккосинусом в диапазоне аргументов от -1 до 1, но имеющая не комплексные значения при аргументах от 1 до 10. (Я как-то интересовался распределением первых цифр в значениях различных функций).

      Как-то прочитал в книге Жукова "Вездесущее число Пи" об очень интересном способе нахождения арккосинуса: если A(x,y) - среднеарифметическое от x и y , а B(x,y) - среднегеометрическое, то если задать a(0) и b(0), а затем воспользоваться рекурентным соотношением: a(n+1)=A(a(n),b(n)) и b(n+1)=B(a(n+1),b(n)), то окажется, что значения a и b асимптодически стремятся к ((b(0)^2-a(0)^2)^(1/2))/arccos(a(0)/b(0)).

      Также в этой книге, предлагалось искать число Пи, пользуясь другим схожим соотношением: если C(x,y) - среднегармоническое x и y, а P(n) - периметр описанного вокруг единичной окружности правильного многоугольника, а p(n) - периметр вписанного правильного многоугольника, то P(2*n)=C(P(n),p(n)), p(2*n)=B(p(n),P(2*n)), т.е. если начать с вписанного и описанного квадратов, то на первом шаге получим периметры вписанного и описанного восьмиугольников, на втором- шестнадцатиугольников и т.д. в геометрической прогрессии!

Ответ Николай Хижняк:

      Сожалею, но в приведенных формулах я почти ничего не смыслю.

      А вот с понятием "значащие цифры" и исключением из этого ряда нуля я категорически не согласен. Лично я хочу видеть математику такой, какая она есть, а не такой, какую мне кто-то показывает. (К Вам это замечание не относится. Я просто хочу сказать, что в математике для меня нет ничего святого, тем более каких-либо авторитетов. Я предпочитаю делать так, как считаю нужным, а не так, как это делают все. Поверьте, подобный подход в математике позволяет получать результаты, которые превосходят все, даже очень смелые, ожидания.) Я считаю, что ноль - это значащее число и означает оно, что значение меньше единицы.

      Давайте введем фильтр разрядов и посмотрим на значения косинуса в пределах прямого угла. Для разряда десятков 100% распределения приходятся на ноль, что означает, что все значения косинусов углов меньше десяти.

      Если брать разряд единиц, то мы получим весьма интересное распределение: единице соответствует всего одно значение, все остальные значения соответствуют нулю, то есть меньше единицы. В процентном отношении распределение будет зависеть от количества частей, на которые мы разбиваем прямой угол, пусть это n частей, которые дадут нам n+1 значений косинуса.

      В этом случае распределение для единицы будет выглядеть так: 100%*1/(n+1), распределение для нуля: 100%*n/(n+1).

      Любопытный факт - сравните уравнения полученного распределения с уравнениями точки Lmx в единичном квадрате. Как говорится, найдите 10 отличий))) (Кстати, совпадение уравнений - вот пример результата, который превзошел ожидания).

      Вот теперь фильтр разрядов позволяет нам отбросить значение косинуса, равного единице и рассмотреть все значения, которые меньше единицы. Здесь распределение можно определить по первой цифре после запятой, то есть по разряду десятых долей. В этом случае первый ноль после запятой, как значащая цифра, дает возможность получить полный спектр распределения, который я уже приводил. Если же ноль не относить к значащим цифрам, тогда картина распределения получится искаженной.

      Напомню, что для значений косинуса с интервалом в один градус был получен следующий результат распределения цифр:

0 - 6,6666...%;
1 - 6,6666...%;
2 - 6,6666...%;
3 - 6,6666...%;
4 - 6,6666...%;
5 - 7,7777...%;
6 - 8,8888...%;
7 - 10,0%;
8 - 12,2222...%;
9 - 27,7777...%.

      Теперь порассуждаем о двоичной системе счисления. Понятие "значащая цифра" автоматически дает 100% распределения на цифру 1 в начале любого числа, ведь все нули в расчет не принимаются. А вот применение фильтра разрядов для двоичной системы уже позволяет получать конкретные значения распределения для единицы и нуля. Теперь весьма интересный вопрос: существует ли в двоичной системе распределение, отличное от 50%/50%?)))).

      В завершение разговора о распределении цифр, хочу заметить, что в рамках одного разряда понятие "значащая цифра" учитывает результаты, округленные в меньшую сторону для всех цифр, кроме нуля. То есть, если в распределении для каждой цифры обозначить через А все цифры последующих разрядов, то получается:

для 1 это 1 и 1+А<2
для 2 это 2 и 2+А<3
для 3 это 3 и 3+А<4 и так далее до
для 9 это 9 и 9+А<10.
А вот значения 0+А<1 из распределения выпадают(((

      Хотелось бы мне посмотреть на того, кто способен заявить: "Я беру только целый миллион, сумма в 0,999999 миллиона меня не устраивает")))).

      В общем случае, для чисел с любым количеством разрядов, ноль можно не считать значащей цифрой до первой значащей цифры, отличной от нуля. Как только такая цифра появляется в любом из разрядов, дальше нужно применять фильтр разрядов, где ноль уже будет значащим числом. Думаю, распределения, посчитанные по этому правилу, более точно отражают реальность.

      Число Пи - это, конечно, весьма интересный вопрос. Я подозреваю, что мы покуда так и не добрались до ответа на вопрос: "Что такое число Пи?". Где и почему оно возникает? Отношение длинны окружности к её диаметру - это всего лишь место, где число Пи так же присутствует, но не более. У числа Пи есть совершенно другой смысл, который я хотел бы увидеть)))).

      12 августа 2010 года - 08 марта 2013 года.

Rambler's Top100 Рейтинг@Mail.ru

© 2006 - 2013 Николай Хижняк. Все права защишены.

Hosted by uCoz