Начало беседы о математике.
02.07.2010 инженер-исследователь:
О секретах таблицы умножения не знаю, а о сюрпризах есть статья в журнале "Квант" №2 за 2000 год "Сюрпризы таблицы умножения" и ссылку на PDF файл с этой статьёй можно найти здесь. Закон Бенфорда изучал ныне покойный математик Арнольд, Владимир Игоревич.
Также известна одна особенность, связанная с этим законом: если найти доли значений некоторой функции y(x), начинающихся на 1, 2, 3 и т.д. и записать и соответственно, как f(1), f(2), f(3) и т.д., то получим формулу: f(n)=(x(n+1)-x(n))/(x(10)-x(1)), где x(y) - функция обратная y(x), следовательно, если у нас есть таблица некоторой функции y(x), при целочиселнных значениях x и мы имеем решения уравнений, y(x)=1 и y(x)=10, то найти решения уравнений y(x)=k, где k - целое число и 1<k<10 , можно пользуясь формулой: x(n+1)=f(n)*(x(10)-x(1))+x(n).
Конечно, этот способ удобен не всегда, но может быть ситуация, когда уравнения y(x)=1 и y(x)=10 - решаются в радикалах, а уравнения типа y(x)=k не только не имеют решений в радикалах, но и при применении классических численных методов, сходятся плохо.
Ответ Николай Хижняк:
Я не силён в решениях уравнений, я предпочитаю их составлять))). Поэтому сходимость и не сходимость - для меня почти пустой звук. Я не хочу во всё это вникать, поскольку есть люди, которые умеют это делать гораздо лучше меня - им и уравнения в руки))). Каждый должен заниматься тем, что у него лучше всего получается. Математические функции и уравнения - явно не мой конёк.
А что касается закона Бенфорда, вот пример распределения, которое никак не вписывается в эту закономерность:
0 - 6,6666...%;
1 - 6,6666...%;
2 - 6,6666...%;
3 - 6,6666...%;
4 - 6,6666...%;
5 - 7,7777...%;
6 - 8,8888...%;
7 - 10,0%;
8 - 12,2222...%;
9 - 27,7777...%.
Я далек от мысли опровергать закон Бенфорда. Есть более простое объяснение: если закон Бенфорда отражает распределение цифр в нашей Вселенной, то приведенный мною пример распределения родился за пределами нашей Вселенной и закону Бенфорда не подчиняется. Кстати, тоже весьма интересный вопрос: на каком этапе эволюции Вселенной закон Бенфорда начинает работать и почему?
12.07.2010 инженер-исследователь:
Как-то я искал способ быстрого нахождения значений тригонометрических функций на калькуляторе, не имевшим прямой возможности их вычисления и обнаружил странную особенность: среднегеометрическое от двух синусов и одного тангенса угла, довольно близко к радианной мере этого угла, далее я узнал,что этот эффект заметил ещё , которое обычно приводят в учебниках.
Не так давно прочитал рассказ Теда Чана "", так скажу, что подобный ход событий, в своё время предполагал ещё Нильс Абель, который сказал: "Если кто-то, каким-нибудь хитрым способом сможет разделить на нуль, то ему должно быть стыдно!", под хитрым способом он понимал, в том числе и тот, который использовала героиня - через доказательство равенства всех чисел друг другу!
Ответ Николай Хижняк:
Насколько могу судить я, о тех зависимостях, которые принято называть тригонометрическими функциями, мы знаем далеко не всё.
Рассказ Теда Чана я читал, больше всего меня поразил суеверный ужас. Я умею делить на ноль, ну и что? Лично мне нисколько не стыдно))) Вы умеете складывать и вычитать. Вам не стыдно? Вот у обезьян от стыда за нас даже задницы покраснели. А что в результате получается? Обезьяны так и сидят на деревьях под дождем. Мы сидим в Интернете в уютных квартирах. Разница лишь в том, что мы умеем делать то, что не умеют делать обезьяны. Это нам должно быть стыдно за то, что мы до сих пор не умеем делить на ноль!
Просто о математике мы имеем весьма смутное представление - где-то на уровне клочка земли, болтающегося на спинах трех китов среди бесконечной лужи))) Там, где начинается настоящая математика - заканчиваются детские игры с числами в песочнице. Здесь моя неуклюжая попытка нарисовать несколько штрихов к портрету математики. Абсолютный цинизм кристально чистых законов - это и есть математика. Для математики нет учеников, учителей, академиков, есть только результат решения конкретной задачи - либо задача решена правильно, либо неправильно. Это же касается и моего решения задачи с делением на ноль - либо я прав, либо нет. Даже если я не прав, мое решение гораздо лучше слепой догмы "деление на ноль невозможно". И это будет первый шаг к правильному решению.
Вот здесь самое время вернуться к закону Бенфорда. Как самые настоящие ученые, мы начали не с того конца. А начинать нужно с вопроса "Во всех ли системах счисления выполняется этот закон?" Как он будет выглядеть для чисел в двоичной системе счисления? Там ведь только два возможных варианта - 0 и 1. Если распределение отлично от 50/50 - закон Бенфорда действует везде. А если в двоичной системе распределение симметрично, тогда можно предположить, что закон Бенфорда - это влияние системы счисления на получаемые результаты, своеобразная математическая лупа. Чем сильнее увеличение дает лупа, тем больше искажения к краям лупы. В восьмеричной системе счисления искажение будет меньше, чем в десятеричной, а в шестнадцатеричной - больше, чем в десятеричной. Интересно, математики это проверяли?
В заключение о сходимости рядов. "Ряд сходится быстрее", "ряд сходится медленнее" - это не математические понятия. Можно придумать более эффективный критерий оценки сходимости рядов.
19.07.2010 инженер-исследователь:
Многие учёные, уехавшие на Запад, отмечают, что там некоторых местных учёных часто вгоняет в суеверный ужас какая-то мелочь, как один из наших эмигрантов пародировал это явление: "Это значение должно быть равно нулю, ведь если оно положительно, то убийство по чётным дням не является преступлением, а если отрицательно, то по нечётным!" - при таком отношении к жизни, деление на нуль выглядит вообще катастрофически! (Я могу понять этих несчастных математиков - они интуитивно чувствуют результат, а те правила игры, которые мы называем "математика" не дают им возможности его получить.))))
Лично у меня был кратковременный приступ ужаса, лишь когда я вывел на экран компьютера график некоторой функции и увидел в нём ярко выраженную кошачью морду - подумал, что сошёл с ума, но оказалось, что действительно этот график был очень похож на кошачью морду!
О сходимости приведённого мной ряда можно сделать вывод, если рассмотреть следующий его член: arcsin(x)= 3*x/(2+(1-x^2)^(1/2))+7*x^5/(60*(13+8*((1-x^2)^(1/2))^5)), прошу обратить внимание, что уже во втором члене имеют место пятые степени, в третьем члене уже девятые и т.д.
Теперь о законе Бенфорда - уже установлено, что он соблюдается и в не десятичных системах счисления, единственное исключение - двоичная система - в ней любое значение начинается на единицу. Вообще единственным числом, начинающимся на нуль является сам нуль. Для учёта в распределении первых цифр, если число меньше единицы, но больше нуля, следует брать первую значащую цифру после запятой.
Ответ Николай Хижняк:
Да, суеверия и стереотип мышления очень мешают смотреть на окружающий мир не предвзято. А деление на ноль - это обычное математическое действие, в котором нет ничего страшного.
Очень сильное впечатление на меня произвело совсем безобидное равенство, когда я вдумался в его смысл. Если желаете, могу выслать набросок маленькой статейки на эту тему. Только предупреждаю сразу, чтиво не для слабонервных, там можно найти оскорбление всех чувств сразу - научных, религиозных и прочих.
Судить о сходимости рядов по степеням не совсем удобно, ведь в рядах есть и другие математические действия, которые оказывают влияние на сходимость.
В приведенном мною распределении значений косинуса от одного до 90 градусов я брал первую цифру после запятой, при этом ноль после запятой я считал значащей цифрой, как и нулевое значение косинуса.
А вот по поводу двоичной системы счисления - здесь должен быть вариант проверки закона Бенфорда, нужно только найти правильное решение этой задачки. Не сомневаюсь, в решении будут неожиданные сюрпризы. Взгляд на мир через призму двоичной системы - это должно быть весьма любопытно.
Продолжение следует.
7 августа 2010 года - 22 сентября 2019 года.
