Аксиомой называется математическое утверждение, правильность или ложность которого принимается без доказательства. В математике существует много разных аксиом. В разных учебниках могут быть разные наборы аксиом в разных формулировках. С целью уникализации текста (эта страница находится в Интернете, а не в учебнике, здесь совсем другие правила), аксиомы изложены в произвольном порядке в вольном изложении с сохранением смысла.
через две любые точки можно провести только одну прямую;
на каждой прямой может быть две и больше точки; существует три и больше точек, которые не лежат на одной прямой;
существует четыре и больше точек, которые не лежат в одной плоскости;
если три точки не лежат на одной прямой, то через эти точки можно провести только одну плоскость;
если две точки прямой принадлежат одной плоскости, то прямая лежит в этой плоскости;
если плоскости имеют одну общую точку, значит они имеют и одну общую прямую;
если какая ни будь точка В расположена на прямой между двумя другими точками А и С, то она также расположена между точками С и А; все три точки А, В и С – это различные точки одной прямой;
если у нас есть три точки, принадлежащих одной прямой, то одна и только одна точка лежит между двумя другими точками;
если две точки А и В лежат на одной прямой, то существует по крайней мере одна точка С, что лежит между точками А и В;
прямая, пересекающая одну из сторон треугольника, но не проходящая через его вершину, пересечет одну из двух оставшихся сторон треугольника.
на любой прямой от любой принадлежащей ей точки можно отложить отрезок, равный данному отрезку;
если два отрезка равны третьему отрезку, то два первых отрезка равны между собой;
пусть прямой a принадлежат точки А, В и С, а прямой b – точки K, L и M. Если AB = KL, BC = LM, то AC = KM. Эта аксиома верна и для случая, когда все шесть точек лежат на одной прямой, но отрезки AB и KL, BC и LM, AC и KM не имеют общих точек;
каждый угол равен самому себе; из любой точки любой прямой в данную сторону можно построить угол, равный данному, и только один.
через данную точку в данной плоскости можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.
аксиома Архимеда: пусть даны два отрезка AB и CD такие, что AB больше CD. На одной прямой можно отложить от точки A отрезок CD последовательно столько раз, что получится отрезок AN, больший или отрезку AB. Другими словами, будет выполняться равенство nCD = AB, (n-1)CD меньше AB, где n - целое число (число отрезков);
аксиома линейной полноты: точки прямой линии образуют систему, которую нельзя дополнить новыми точками без нарушения ранее установленных аксиом.
22 июля 2011 года.