Даже пришлось смотреть в Википедии, что такое аппроксимация))) Странно читать признания взрослого человека о том, с каким упоением он ковыряется в математике))) А ведь я точно так же выгляжу со стороны. Только Вы ковыряетесь в числах, а я в математике вообще. Обожаю поковырять тригонометрию, до сих пор ещё не все формулы вывел из тех, на которые мне хочется посмотреть. Но уже появился новый бзык - формула четырехугольника, одна для всех видов. Следует признать, что математика - это очень увлекательное занятие, в которое можно погружаться до бесконечности. Вот чего я не признаю в математике - так это радианную меру углов. Самая большая глупость,  которую можно было придумать.

Когда я был ещё школьником, я пытался найти способ аппроксимации тригонометрических функций нетригонометрическими уравнениями. Не так давно я нашёл весьма удачную аппроксимацию арксинуса: arcsin(x)=x*(3/(2+sqrt((1+x^2)^0.8978756346)))^1.11374 , где sqrt-корень квадратный, ^-степень, а 0,8978756346=ln(3/2)/ln(Pi/2),1,11374=ln(Pi/2)/ln(3/2). Данную формулу я вывел исходя из замеченной ещё при изучении таблиц Брадиса особенности: радианная мера угла близка к среднему от двух синусов данного угла и одного тангенса, причём среднегеометрическое давало более точные результаты,чем среднеарифметическое,а среднегармоническое давало ещё более точные результаты,причём, если среднеарифметическое и среднегеометрическое давали завышенные значения радианной меры угла, то среднегармоническое, давало заниженные значения. Когда я узнал,что классические средние-частный случай среднестепенных, то смог найти среднестепенное, дающее наиболее точное значение радианной меры угла- среднестепенное с показателем степени ln(3/2)/ln(Pi/2) ,фактически x=(3/(2/sin(x)^(ln(3/2)/ln(Pi/2))+1/tg(x)^(ln(3/2)/ln(Pi/2))))^(ln(Pi/2)/ln(3/2)), зная, что tg(x)=sin(x)/sqrt(1-sin(x)^2) и приведя подобные я и смог вывести указанную аппроксимацию арксинуса. Когда я наложил на экране компьютера график моей аппроксимации арксинуса, на график самого арксинуса, в Excel, то они совпали- расхождение оказалось меньше толщины линии!

Спасибо! Взаимно))) Многие дроби тоже являются бесконечными числами, что заставляет закладывать точность вычислений уже в самом начале.

Прежде всего поздравляю с Днём числа Пи!
Хочу рассказать по этому поводу одну особенность оценки качества методов вычисления этого числа. На прошлом дне числа Пи,я как-то описал знакомым метод Матсунаги, на что они мне сказали,что существуют более быстрые способы вычисления числа Пи и привели в пример алгоритм Брента — Саламина, но в нём ,как я понял,крылась неприятность- каждая итерация требовала нахождения корня квадратного, который сам оказывался иррациональным числом, следовательно внутри каждой итерации, требовалось произвести серию внутренних итераций, что во-первых снижает скорость вычислений ,а во-вторых точность нахождения корня квадратного, лимитирует точность нахождения самого числа Пи.
Аналогичным недостатком страдает и древнегреческий способ нахождения числа Пи,через нахождение периметров вписанного в окружность или описанного вокруг неё многоугольников- здесь требуется искать вложенные корни.
В методе Матсунаги, число Пи , представлено,как сумма дробей-рациональных чисел,что приводит к тому,что число действий в каждой итерации минимально, что делает его более удобным и быстрым, чем другие более быстро сходящиеся методы!

На мой взгляд, формулы для углов создавались под конкретные результаты и не отражают математических законов использования угловых мер в математике. Если мы говорим о рядах для нахождения значений тригонометрических функций, то здесь нужно иметь ввиду, что каждая такая формула будет "индивидуального применения" - для конкретной функции в конкретных единицах измерения углов. А вот уже значения тригонометрических функций не зависят от угловых единиц измерения - синус, равный 1/2, всегда будет соответствовать углу в 30 градусов или эквивалентной величине в других единицах измерения углов.

Интересно, чисто теоретически, можно ли найти универсальные формулы? Типа синус в любых угловых единицах измерения или универсальная формула всех функций для градусной меры?

На тему градусов и радианов, скажу ,что когда я размышлял о законе Бенфорда для углов , то обнаружил одну особенность: углы разной величины не подобны. Т.е. можно утверждать, что квадрат со стороной в один аршин, подобен квадрату со стороной в один ярд и квадрату со стороной один метр и т.д. , а вот угол в один градус никогда не будет подобным углу в один град и тем более не будет подобен углу в один радиан. Именно из-за этой неподобности формулы, применимые к градусной мере не применимы к радианной!

Я в такие подробности не вникаю))) Меня завораживает не магия отдельных формул, а более общие принципы в математике. Ведь все эти формулы не применимы к градусной мере углов. А ведь это всё равно, что формулы работают в метрической системе измерения длин и совершенно бесполезны в британской системе мер. А это уже бред, а не математика)))

Ещё когда я был школьником и изучал таблицы Брадиса, то заметил, что среднеарифметическое от двух синусов и одного тангенса некоторого угла, близко к его радианной мере, позже я прочитал статью в журнале "Квант" об этом, но там это явление рассматривалось в контексте поиска значения числа Пи, а подумал, что таким способом можно искать значения арксинуса и арктангенса. Позже я заметил, что такой способ даёт завышенное значение, но потом я узнал, что среднегеометрическое и среднегармоническое положительных чисел всегда больше среднеарифметического, далее я убедился, что среднегеометрическое двух синусов и одного тангенса, тоже даёт завышенное значение,но среднегармоническое даёт значение с недостатком, следовательно можно как-то усреднить среднеарифметическое и среднегармоническое, для получения более точного результата.
Используя комбинацию всех классических средних, я смог вывести формулу для нахождения арксинуса: arcsin(x)=(27*x/35)/(1-x^2)^(1/6)+(54*x/35)/(2+sqrt(1-x^2))-(2*x/21)/sqrt(1-x^2)-4*x/21, если использовать только среднеарифметическое и среднегармоническое, то получим arcsin(x)=x*(1/(30*sqrt(1-x^2))+27/(10*sqrt(1-x^2)+20)+1/15)

Одно время я искал формулы для приближённого вычисления обратных тригонометрических функций с использованием только действий сложения, вычитания, умножения, деления ,возведения в целочисленную степень и извлечения квадратного корня и нашёл несколько довольно любопытных формул, приведу некоторые из них:
arcsin(x)=sqrt((315-55*x^2-sqrt(99225-97650*x^2-2435*x^4))*(78*x^2+900))/(26*x^2+300), где sqrt()- корень квадратный, а ^-знак степени, данная формула в интервале 0<x<1 , даёт ошибку не более 1%,
arccos(x)=sqrt(84+6*x-6*sqrt(106+118*x+x^2))/3, данная формула в интервале 0<x<1 даёт ошибку менее 0,1%
arctg(x)=sqrt(6)*sqrt((150+163*x^2)*(315+260*x^2-sqrt(99225+100800*x^2-860*x^4))) /(326*x^2+300), даёт на интервале 0<x<5 , ошибку менее 1%,а на интервале 0<x<2.5 ошибку менее 0,1%

Здраствуйте, Николай! В статье и комментариях "Минусы отрицательных чисел или что тяжелее - минус три яблока или минус два яблока?" есть объяснение основной логической ошибки в теории отрицательных чисел, а в статье конкретные примеры. Привожу часть комментария:
"В теории отрицательных чисел применяется мнимое число - это такое число, при возведении в квадрат которого получается число -1. В науке логике этот прием характеризуется как: Определение понятия через само понятие. Например: Круг есть такая фигура, при построении которой получается круг. Научное название такого приема построения доказательств - Тавтология. Доказательность на основе логичности в математике, как и в жизни, должна быть определяющим фактором\".
Целый раздел науки математики основан на грубейшей логической ошибке, которая уводит в сторону от нормального изучения этой важной практической науки. Об этом говорит другая наука - логика. Это должны понимать учителя и знать ученики. Грубые научные ошибки не обогащают человеческое общество, не приносят пользы.
В русскоязычном интернете есть большое количество людей, не удовлетворенных существующей (на уровне обывателя) трактовкой серьезных нестыковок в базовой научной дисциплине." Хотелось бы узнать Ваше мнение о судьбе теории отрицательных числе в свете уточненных суждений об этой теории? С уважением, Дмитрий.

Не верю я в подобные парадоксы. Думаю, и со сплошным шаром этот фокус невозможен. Для пещерных людей можно много всяких фокусов показывать. Математики - это великолепные шулеры, которые ловко умеют подменять одни понятия другими, часто сами того не подозревая. Ведь они занимаются абстрактными понятиями))) Всё равно всему (если, конечно, не вдаваться в детали) - вот основа парадоксов. Ненавижу теорию множеств. Множество из двух слонов равно множеству из двух мух. Поскольку элементы этих множеств равны, значит муха равна слону. Любой бред можно обосновать при помощи современной математики))) Делается это приблизительно так http://www.webstaratel.ru/2013/10/preobrazovanie-po-iksam.html

Не так давно заинтересовался парадоксом Банаха-Тарского, который заключается в том,что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям, т.е. трёхмерный шар, можно разрезать на несколько частей, и собрать из них два шара идентичных исходному. Я попытался разобраться в этом и пришёл к выводу, что такое возможно ,если исходить из допущения сплошной природы шара, если попытаться сделать подобный трюк с реальным шаром, то получим два шара, размер каждого из которых ,равен исходному, но суммарное количество молекул в них будет равно количеству молекул в исходном шаре, т.е. шары у нас выйдут пористые. Фактически закон сохранения материи- следствие атомарной структуры вещества. Фактически античный Левкипп- основатель атомистики, пришёл к своим идеям, именно подобным способом.
С другой стороны парадокс Банаха-Тарского , говорит о том,как тяжело , геометрии отвлечься от свойств тел,задаваемых их атомарной структурой.
С третьей стороны, если допустить, что в основе материи лежат какие-то сплошные частицы, состоящие из сплошного вещества, то они должны обладать очень странными свойствами, поэтому может быть , наблюдаемые квантовые явления в микромире, которые не наблюдаются в повседневной жизни-следствие того, что мы приблизились к первичным элементам материи!
Также хочу привести несколько приближённых формул для нахождения различных функций:
Для косинуса:cos(x)=(48*x^4-1140*x^2+2520)/(3*x^4+120*x^2+2520) , где ^-возведение в степень . Эта формула на интервале от -Пи/2 до Пи/2 даёт приличную точность , для логарифма: ln(x)=(3+3*x-sqrt(42*x-3*x^2-3))/(x-1) ,где sqrt()-корень квадратный - эта формула не плохо работает на интервале x от exp(-1) до exp(1) , за исключением точки x=1 ,где происходит деление на нуль!

Рад видеть!!! Интересное наблюдение. Но меня смущают два момента.

Первое. Нужно знать то, что ищешь. К чему приближаться??? Если мы не знаем значения корня из двух, то первый шаг мы сделать можем. В каком направлении делать второй шаг - к 1/1 или 3/2? Получаются блуждания ежика в тумане. Автопилот этим методом не предусмотрен??? В некоторых математических формулах удается использовать автопилот при определенных условиях. Приближение к известной величине - это совсем не то, что поиск самой величины методом приближения. Вот яркий пример из математики, когда всеобщее увлечение доказательством заслонило сам смысл математического закона  http://www.webstaratel.ru/2013/05/teorema-kosinusov.html Лично я был в легком шоке, что такие очевидные вещи тысячелетиями остаются не замеченными. У теоремы Пифагора тоже есть общий вид, при помощи которого описывается треугольник любого типа, даже равносторонний. Сумма двух равняется одному - этого даже я представить не мог, но... Оказывается, такое вполне возможно. Нужно только чуть-чуть по-другому посмотреть на саму теорему Пифагора.

Второе. Можно ли путем приближения найти то рациональное число, которое точно соответствует иррациональному числу? Уже давно задавался таким вопросом. Так, из чистого любопытства. Кстати, о корне из двух я тут недавно писал http://www.webstaratel.ru/2013/10/zagadka-vavilonskoj-tablichki.html

Не так давно я нашёл довольно интересный способ для нахождения рациональных приближений корней уравнений имеющих иррациональное значение. Он основан на том, что если a/b>c/d , то a/b>(a+c)/(b+d)>c/d , следовательно если корень уравнения имеет приближение a/b с избытком,а c/d с недостатком, то более точное приближение этого корня уравнения будет выглядеть ,как (a+c)/(b+d) . Покжу это на примере нахождения корня квадратного из 2. Известно ,что корень из 2 находится в диапазоне между 1/1 и 3/2, тогда первым приближением будет (1+3)/(1+2)=4/3, что оказывается меньше,чем корень из 2 ,ибо (4/3)*(4/3)=16/9, следовательно значение корня из 2 находится в диапазоне между 4/3 и 3/2, откуда находим второе приближение (4+3)/(3+2)=7/5, что тоже меньше корня из 2 , что сужает диапазон до границ между 7/5 и 3/2, что позволяет придти к третьему приближению (7+3)/(5+2)=10/7, что приводит диапазон к границам между 7/5 и 10/7, что приводит к четвёртому приближению (10+7)/(5+7)=17/12 и т.д.
Преимуществом данного метода является то, что он позволяет ,при большинстве вычислений , оперировать преимущественно целыми числами, скажем в представленном алгоритме нахождения корня квадратного из 2, есть всего одна операция деления- деления числителя на знаменатель в конце вычислений!

Гостевая книга взята под контроль администратором и очищена от спама. Все толковые комментарии будут рассмотрены.