Согласно общепринятому определению, ноль - это число, отделяющее положительные числа от отрицательных на числовой прямой. Ноль - это самое проблематичное место в математике, которое не подчиняется логике, а все математические действия с нулём основаны не на логике, а на общепринятых определениях.
Первый пример проблематичности нуля - это натуральные числа. В русских школах ноль не является натуральным числом, в других школах ноль является натуральным числом. Поскольку понятие "натуральные числа" - это искусственное отделение некоторых чисел от всех остальных чисел по определённым признакам, то математического доказательства натуральности или не натуральности нуля быть не может. Ноль считается нейтральным элементом по отношению операций сложения и вычитания.
Ноль считается целым, беззнаковым числом. Также ноль считается чётным числом, поскольку при делении нуля на 2 получается целое число ноль.
Ноль является первой цифрой во всех стандартных системах счисления. В позиционных системах счисления, к которым принадлежит привычная нам десятичная система счисления, цифрой ноль обозначают отсутствие значения данного разряда при записи числа. Индейцы майя использовали ноль в принятой у них двенадцатеричной системе счисления за тысячу лет до индийских математиков. С нулевого дня в календаре майя начинался каждый месяц. Интересно, что тем же самым знаком ноль математики майя обозначали и бесконечность - вторую проблему современной математики.
Лично я считаю, что НОЛЬ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ЧИСЛОМ. Приняв это как аксиому, очень многие математические проблемы исчезнут. Вот некоторые мои статьи на тему нуля и его места в матемтаике:
Слово "ноль" в арабском языке звучит как "сыфр". От арабского слова ноль (сыфр) произошло слово "цифра".
Как правильно пишется - ноль или нуль? Слова ноль и нуль совпадают в значении, но различаются употреблением. Как правило, ноль употребляется в обиходной речи и в ряде устойчивых сочетаний, нуль - в терминологии, в научной речи. Правильными будут оба варианта написания этого слова. Например: Деление на ноль. Ноль целых. Ноль внимания. Ноль без палочки. Абсолютный нуль. Ноль целых пять десятых.
В грамматике производные слова от слов ноль и нуль пишутся так: нолевой или нулевой, нолик или нулик, ноля или нуля, нулевой или реже встречающееся нолевой, ноль-ноль. Например: Ниже нуля. Равно нулю. Свести к нулю. Нулевой меридиан. Нулевой пробег. В двенадцать ноль-ноль.
В математических действиях с нулем на сегодняшний день определены следующие результаты:
сложение - если к любому числу прибавить ноль, число останется неизменным; если к нулю прибавить любое число результатом сложения будет то же самое любое число:
a + 0 = a
0 + a = a
вычитание - если из любого числа вычесть ноль, число останется неизменным; если из нуля вычесть любое число в результате получится то же самое любое число с противоположным знаком:
a - 0 = a
0 - a = -a
умножение - если любое число умножить на ноль, результатом будет ноль; если ноль умножить на любое число в результате получится ноль:
a х 0 = 0
0 х a = 0
деление - деление на ноль запрещено, поскольку результат не существует; общепринятый взгляд на проблему деления на ноль изложен в работе Александра Сергеева ; для любознательных написана другая статья, в которой рассматривается возможность деления на ноль:
a : 0 = делить на ноль запрещено, при этом а не равно нулю
ноль разделить на ноль - выражение не имеет смысла, так как не может быть определено:
0 : 0 = выражение не имеет смысла
ноль разделить на число - если ноль разделить на число в результате всегда будет ноль, не зависимо от того, какое число находится в знаменателе (исключением из этого правила является число ноль, смотри выше):
0 : a = 0, при этом а не равно нулю
ноль в степени - ноль в любой степени равен нулю:
0a = 0, при этом а не равно нулю
возведение в степень - любое число в степени ноль равняется единице (число в степени 0):
a0 = 1, при этом а не равно нулю
ноль в степени ноль - выражение не имеет смысла, так как не может быть определено (ноль в нулевой степени, 0 в степени 0):
00 = выражение не имеет смысла
извлечение корня - корень любой степени из нуля равен нулю:
01/a = 0, при этом а не равно нулю
факториал - факториал нуля, или ноль факториал, равняется единице:
0! = 1
распределение цифр - при подсчете распределения цифр ноль считается незначащей цифрой. Изменение подхода в правилах подсчета распределения цифр, когда ноль считается ЗНАЧАЩЕЙ цифрой позволит получать более точные результаты распределения цифр во всех стандартных системах счисления, в том числе в двоичной системе счисления.
Кому интересен вопрос возникновения нуля, предлагаю прочесть статью Дж. Дж. О’Коннора и Е. Ф. Робертсона в переводе И. Ю. Осмоловского.
Мои ранние работы, посвященные умножению и делению на ноль, а также математическим действиям:
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ НА НОЛЬ. Бесконечность как изменение масштаба.
МАТЕМАТИКА МНОГОМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
30 августа 2010 года - 07 сентября 2023 года.